Question

8．如图所示，小岛P的周围20$\sqrt{2}$海里内有暗礁，某渔船沿北偏东60°的AM方向航行，在A处测得小岛P的方向为北偏东30°，且距A处40海里，该渔船若不改变航向，有无触礁的可能？若有可能触礁，则该渔船在A处应再向北偏东至少偏离多大角度才能脱险？

Answer 1

分析 作PB⊥AM于M，求出PB的长即可判断是否触礁，作⊙P的切线AE，切点为E，利用三角函数即可求出∠PAE，进而得到渔船在A处应再向北偏东至少偏离多大角度才能脱险．

解答 解：如图，作PB⊥AM于M．
∵∠DAB=60°，∠DAP=30°，
∴∠PAB=60°-30°=30°，
∴PB=AP•sin30°=20海里＜20$\sqrt{2}$（海里），
∴该渔船若不改变航向，有触礁的可能；
作⊙P的切线AE，切点为E．
∴sin∠PAE=$\frac{20\sqrt{2}}{40}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠PAE=45°，
∴∠DAE=30°+45°=75°，∠MAE=75°-60°=15°．
答：有可能触礁，该渔船在A处应再向北偏东至少偏离15°才能脱离危险．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，根据题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．