Question

如图甲，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图乙是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，此时扣链EF成一条线段，EF=32cm．
（1）求证：AC∥BD．
（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°，可使用科学计算器）．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用

专题：

分析：（1）根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA=

1

2

（180°-∠BOD）和∠OBD=∠ODB=

1

2

（180°-∠BOD），进而利用平行线的判定得出即可；
（2）首先作OM⊥EF于点M，则EM=16cm，利用cos∠OEF=

EM

OE

=

16

34

=

8

17

≈0.471，即可得出∠OEF的度数；

解答：（1）证明：证法一：∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD…1分
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=

1

2

（180°-∠BOD），
同理可证：∠OBD=∠ODB=

1

2

（180°-∠BOD），
∴∠OAC=∠OBD，
∴AC∥BD，
证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，
∴OB=OD=85cm，
∴

OA

OB

=

OC

OD

=

3

5

又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD；…2分
∴AC∥BD…3分；

（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；
作OM⊥EF于点M，则EM=16cm；…4分
∴cos∠OEF=

EM

OE

=

16

34

=

8

17

≈0.471，
用科学记算器求得∠OEF=61.9°；

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键．