Question

【题目】已知如图，二次函数的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O.

（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；

（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；

（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（4,0）；；（2）≤QM≤；（3）、

【解析】

（1）过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，求证△ACD≌△ABE，进而求得点B坐标，再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，即可解答；

（2）将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式，求得m的值，进而且得点Q坐标，根据圆的性质得到BC是圆N的直径，利用勾股定理即可求得BC，进而求得N的坐标，再利用勾股定理求得QN的长，确定取值范围即可；

（3）分两种情况：当点A的对称点，点O的对称点在抛物线上时，利用旋转180°可知，∥，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，利用列出式子，即可求得m的值，利用旋转中心和线段中点的特点，即可求得旋转中心P的坐标；当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，同理可求得m的值以及旋转中心P的坐标.

（1）解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，

∴∠ADC=∠AEB=90°

∵二次函数与y轴交于点C，

点C坐标为（0，2）

∵点A坐标（3，3）

∴DA=AE=3

∵∠DAC+∠CAE=90°

∠EAB+∠CAE=90°

∴∠DAC=∠EAB

∴△ACD≌△ABE

∴EB=CD=3-2=1

OB=3+1=4

∴点B的坐标为（4，0）

将A（3，3）B（4，0）代入二次函数中

得：

解得：

二次函数的解析式为：

（2）将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式得：

m1=1；m2=（舍）

∴m=1

∴点Q坐标为(1,4)

由勾股定理得：BC=2

设圆的圆心为N

∵圆经过点O，且∠COB=90°

∴BC是圆N的直径，

∴圆N的半径为，N的坐标为（2,1）

由勾股定理得，QN=

半径r=，则≤QM≤

（3）当点A的对称点，点O的对称点在抛物线上时，如图

设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3

得：

解得：

∴的坐标为（）

∴旋转中心P的坐标为

当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，如图

设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3

得：

解得：

∴的坐标为（）

∴旋转中心P的坐标为

综上所述，旋转中心P的坐标为或