Question

【题目】数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD＝120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．

（1）初步尝试

如图1，若AD＝AB，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系；

（2）类比发现

如图2，若AD＝2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求的值；

（3）深入探究

如图3，若AD＝4AB，探究得：的值为常数t，则t＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）AE+AF＝AC；（2）；（3）.

【解析】

（1）先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明∠BCE＝∠ACF，从而可证得△BCE≌△ACF，进而证得BE＝AF，由此即可解决问题．
（2）设DH＝x，由题意，CD＝2x，CH＝，由△ACE∽△HCF，得 ，由此即可得出答案．
（3）作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．先证明△CFN∽△CEM，得 ，由ABCM＝ADCN，AD＝4AB，推出CM＝4CN，所以，设CN＝a，FN＝b，则CM＝4a，EM＝4b，想办法求出AC，AE＋4AF即可解决问题．

解：（1）AE+AF＝AC； 理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°，

∴∠D＝∠B＝60°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠B＝∠CAD＝60°，∠ACB＝60°，BC＝AC，

∵∠ECF＝60°，

∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝60°，

∴∠BCE＝∠ACF，

在△BCE和△ACF中，，

∴△BCE≌△ACF（ASA）．

∴BE＝AF，

∴AE+AF＝AE+BE＝AB＝AC；

故答案为：AE+AF＝AC；

（2）设DH＝x，由由题意，CD＝2x，CH＝，

∴AD＝2AB＝4x，

∴AH＝AD﹣DH＝3x，

∵CH⊥AD，

∴AC＝＝，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴∠ACD＝90°，

∴∠BAC＝∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝30°，

∴∠ACH＝60°，

∵∠ECF＝60°，

∴∠HCF＝∠ACE，

∴△ACE∽△HCF，

∴，

（3），

理由如下：

如图，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．

∵∠ECF+∠EAF＝180°，

∴∠AEC+∠AFC＝180°，

∵∠AFC+∠CFN＝180°，

∴∠CFN＝∠AEC，∵∠M＝∠CNF＝90°，

∴△CFN∽△CEM，

∴，

∵ABCM＝ADCN，AD＝4AB，

∴CM＝4CN，

∴，

设CN＝a，FN＝b，则CM＝4a，EM＝4b，

∵∠MAH＝60°，∠M＝90°，

∴∠AHM＝∠CHN＝30°，

∴HC＝2a，HM＝2a，HN＝a，

∴AM＝，AH＝，

∴AC＝ ＝，

AE+4AF＝（EM﹣AM）+4（AH+HN﹣FN）＝EM﹣AM+4AH+4HN﹣4FN＝4AH+4HN﹣AM＝，

∴．

∴t＝，

故答案为：．