Question

化简求值
（1）先化简(1-

1

x-1

)÷

x2-4x+4

x2-1

，然后从-2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
（2）若a1=1-

1

m

，a2=1-

1

a1

，a3=1-

1

a2

，…；求a₂₀₁₁的值．（用含m的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再在x的取值范围内找出符合条件的x的值代入进行计算即可；
（2）先根据题意找出规律，由此规律即可得出结论．

解答：解：（1）原式=

x-2

x-1

•

(x+1)(x-1)

(x-2)2

=

x+1

x-2

．
∵x满足-2≤x≤2且为整数，
∴若使分式有意义，x只能取0，-2．
当x=0时，原式=-

1

2

．（或：当x=-2时，原式=

1

4

）．


（2）解：∵a₁=1-

1

m

=

m-1

m

；
a₂=1-

1

a1

=1-

1

m-1 m

=1-

m

m-1

=

m-1

m-1

-

m

m-1

=-

1

m-1

；
a₃=1-

1

a2

=1-

1

- 1 m-1

=1+m-1=m；
a₄=1-

1

a3

=1-

1

m

=

m

m

-

1

m

=

m-1

m

；
a₅=1-

1

a4

=1-

1

m-1 m

=1-

m

m-1

=

m-1

m-1

-

m

m-1

=-

1

m-1

；
…
∴3个一循环，
又∵2011÷3=670…1，
∴a₂₀₁₁与a₁的值相同．
∴a₂₀₁₁=1-

1

m

=

m-1

m

．

点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．