Question

【题目】如图，，点是线段的一个三等分点，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，连接

(1)求证:是的切线；

(2)点为上的一动点，连接.

①当 时，四边形是菱形;

②当 时，四边形是矩形.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)①60°，②120°.

【解析】

（1）连接，由，得到为等边三角形，得到，即可得到，则结论成立；

（2）①连接BD，由圆周角定理，得到∠ABD=30°，则∠DBE=60°，又有∠BEP=120°，根据同旁内角互补得到PE//DB，然后证明，即可得到答案；

②由圆周角定理，得∠ABD=60°，得到∠EBD=90°，然后由直径所对的圆周角为90°，得到，即可得到答案.

证明：连接，

，

.

，

为等边三角形，

.

点是的三等分点，

，

，

，即，

是的切线.

（2）①当时，四边形是菱形；

如图，连接BD，

∵，

∴，

∴，

∵AB为直径，则∠AEB=90°，

由（1）知，

∴，

∴，

∴PE//DB，

∵，，

∴，

∴四边形是菱形；

故答案为：60°.

②当时，四边形是矩形.

如图，连接AE、AD、DB，

∵，

∴，

∴，

∵AB是直径，

∴，

∴四边形是矩形.

故答案为：.