Question

【题目】如图在中，，以为直角边作等腰，，斜边交与点。

（1）如图1，若，作于，求线段的长；

（2）如图2，作，且，连接，且为中点，求证：。

Answer 1

【答案】（1）；

（2）证明见详解.

【解析】

（1）由直角三角形的性质可求，，由等腰直角三角形的性质可得，即可求的长；

（2）过点A作AM⊥BC，由平行线分线段成比例可得CD=2CN，AN=BD，由“SAS”可证△ACN≌△CFB，可得结论

解：（1）∵∠ABC=60°，EH⊥BC，
∴是等边三角形，并且根据等边三角形的性质，EH垂直于∠ABC的角平分线，

∴∠BEH=30°，
∴BE=2BH=4，，

∴，，

∵∠CBD=90°，BD=BC，
∴∠BCD=45°，且EH⊥BC，
∴∠BCD=∠BEC=45°，

∴，

∴；

（2）如图，过点A作AM⊥BC，交DC，BC于N，M两点，

∵AB=AC，AM⊥BC，

∴，

∵，，
∴，

∴，

∵AM∥DB，

∴ ，

∴，

并且为中点，即，

∴

∴，，
∵，，
∴，且，
∴，且，，
∴（SAS）
∴，
∴ ，