Question

5．在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是BC上一点，连接EF、DF，若AB=4，BC=8，EF=2$\sqrt{5}$，则DF的长为2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论，先过F作FG⊥AD于G，构造直角三角形，根据勾股定理求得EG的长，再根据勾股定理求得DF的长即可．

解答 解：①如图所示，当BF＞CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF=4，

Rt△EFG中，EG=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
又∵E是AD的中点，AD=BC=8，
∴DE=4，
∴DG=4-2=2，
∴Rt△DFG中，DF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

②如图所示，当BF＜CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF=4，

Rt△EFG中，EG=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
又∵E是AD的中点，AD=BC=8，
∴DE=4，
∴DG=4+2=6，
∴Rt△DFG中，DF=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
故答案为：2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意分类思想的运用．