Question

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）菱形BMDN的面积为20，MN=2．

试题分析：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM²=AM²+AB²，推出x²=x²﹣16x+64+16，求出即可．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形；
（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM²=AM²+AB²
即x²=（8﹣x）²+4²，
解得：x=5，
∴菱形BMDN的面积为：MD×AB=5×4=20，
∵AB＝4，AD＝8，
∴BD=4
∵菱形BMDN的面积还可以表示为：BD×MN=2 MN
∴2 MN=20
∴MN=2．