Question

如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．

（1）求证：△ACD∽△ABC；

（2）求证：∠PCA=∠ABC；

（3）过点A作AE∥PC交⊙O于点F，连接BE，若sin∠P=，CF=5，求BE的长．

Answer 1

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）欲证明△ACD∽△ABC，只要证明①∠ADC=∠ACB，②∠CAD=∠BAC即可．

（2）利用等角的余角相等证明，即证明∠PCA+∠OCA=90°以及∠ABC+∠OAC=90°由此可以解决问题．

（3）先证明FA=FC=5，在RT△ADF中，根据sin∠FAD=求出DF、AD，在RT△COD中利用勾股定理求出半径，最后在RT△ABE中利用sin∠BAE=求出BE即可．

【解答】（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵CG⊥AB，

∴∠ADC=90°=∠ACB，

∵∠CAD=∠BAC，

∴△ACD∽△ABC．

（2）证明：连接OC．

∵PC切⊙O于C，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°

∴∠PCA+∠OCA=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠OAC=90°，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠PCA=∠ABC．

（3）解：∵AE∥PC，

∴∠PCA=∠CAF，

∵AB⊥CG，

∴=，

∴∠ACF=∠ABC，

∵∠PCA=∠BC，

∴∠ACF=∠CAF，

∴FA=FC，

∵CF=5，

∴AF=5，

∵AE∥PC，

∴∠FAD=∠P，

∵sin∠P=，

∴sin∠FAD=，

∴FD=3，AD=4，CD=8，

在RT△COD中，设CO=r，则有r²=（r﹣4）²+8²

∴r=10，

∴AB=2r=20，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∴sin∠EAB=，

∴，

∴=，

∴EB=12．

【点评】本题考查圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、三角函数、勾股定理等知识，注意连接OC是圆中常用辅助线，熟练掌握垂径定理、切线的性质是解题的关键，属于中考压轴题．