Question

15．如图，直角△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，证明：AB²=BD•BC，AC²=CD•BC，AD²=BD•CD．

Answer 1

分析 证明△ABD∽△CBA，由相似三角形的性质可知$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，故此可得到：AB²=BD•BC；证明△ADC∽△BAC，由相似三角形的性质可知$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$故此AC²=CD•BC；证明△ABD∽△CAD，由相似三角形的性质可知$\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{AD}$，故此可知：AD²=BD•CD．

解答 证明：在△ABD和△CBA中，
∠B=∠B，∠BAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CBA．
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$．
∴AB²=BD•BC．
在△ADC和△BAC中，
∠C=∠C，∠BAC=∠ADC=90°，
∴△ADC∽△BAC．
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$．
∴AC²=CD•BC．
∵．△ADC∽△BAC，△ABD∽△CBA，
∴△ABD∽△CAD．
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{AD}$．
∴AD²=BD•CD．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．