题目内容
如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．
（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；
（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；
（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．
（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；
（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；
（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2）），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．
解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点
（2）画点B关于AC的对称点B'，延长DB'交AC于点P，点P为所求
（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C
∴∠AP1B+∠BP1C=180度
∴P1在AC上
同理，P2也在AC上
在△DP1P2和△BP1P2中，∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共
∴△DP1P2≌△BP1P2
所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称
设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC
所以点P是四边形的半等角点
（2）画点B关于AC的对称点B'，延长DB'交AC于点P，点P为所求
（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C
∴∠AP1B+∠BP1C=180度
∴P1在AC上
同理，P2也在AC上
在△DP1P2和△BP1P2中，∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共
∴△DP1P2≌△BP1P2
所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称
设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC
所以点P是四边形的半等角点
练习册系列答案
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