题目内容
已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数
（k＞0）的图象与AC边交于点E．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S=S△OEF-S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）分别用点E，F的坐标表示出△AOE与△FOB的面积，进行比较；
（2）应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，利用二次函数求出最值即可；
（3）点F的横坐标已有，与点B的横坐标相同，利用折叠以及相似求得点F的纵坐标．
解答：
（1）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2），△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，
由题意得y1=
，y2=
，
∴S1=
x1y1=
k，S2=
x2y2=
k，
∴S1=S2，
即△AOE与△FOB的面积相等；
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（
，3），F（4，
），
∴S△ECF=
EC•CF=
（4-
k）（3-
k），
∴S△EOF=S矩形AOBC-S△AOE-S△BOF-S△ECF
=12-
k-
k-S△ECF
=12-k-S△ECF
∴S=S△OEF-S△ECF=12-k-2S△ECF=12-k-2×
（4-
k）（3-
k）．
∴S=-
k2+k，即S=-
（k-6）2+3，
当k=6时，S有最大值．
S最大值=3；
（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，
过点E作EN⊥OB，垂足为N．
由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-
k，MF=CF=3-
k，
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，
∴∠EMN=∠MFB．
又∵∠ENM=∠MBF=90°，
∴△EMN∽△MFB．
∴
，
∴
，
∴MB=
．
∵MB2+BF2=MF2，
∴
，解得k=
．
∴BF=
．
∴存在符合条件的点F，它的坐标为（4，
）．
点评：此题综合性比较强，把反比例函数的图象和性质，图形的面积计算，二次函数最值的计算放在矩形的背景中，综合利用这些知识解决问题．在求坐标系内一般三角形的面积，通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式．
（2）应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，利用二次函数求出最值即可；
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解答：
（1）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2），△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，由题意得y1=
，y2=
，∴S1=
x1y1=
k，S2=
x2y2=
k，∴S1=S2，
即△AOE与△FOB的面积相等；
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（
，3），F（4，
），∴S△ECF=
EC•CF=
（4-
k）（3-
k），∴S△EOF=S矩形AOBC-S△AOE-S△BOF-S△ECF
=12-
k-
k-S△ECF=12-k-S△ECF
∴S=S△OEF-S△ECF=12-k-2S△ECF=12-k-2×
（4-
k）（3-
k）．∴S=-
k2+k，即S=-
（k-6）2+3，当k=6时，S有最大值．
S最大值=3；
（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，
过点E作EN⊥OB，垂足为N．
由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-
k，MF=CF=3-
k，∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，
∴∠EMN=∠MFB．
又∵∠ENM=∠MBF=90°，
∴△EMN∽△MFB．
∴
，∴
，∴MB=
．∵MB2+BF2=MF2，
∴
，解得k=
．∴BF=
．∴存在符合条件的点F，它的坐标为（4，
）．点评：此题综合性比较强，把反比例函数的图象和性质，图形的面积计算，二次函数最值的计算放在矩形的背景中，综合利用这些知识解决问题．在求坐标系内一般三角形的面积，通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式．
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