Question

已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y=

k

x

的图象与AC边交于点E．现进行如下操作：将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，过点E作EM⊥OB，垂足为M点．
（1）用含有k的代数式表示：E（

 

），F（

 

）；
（2）求证：△MDE∽△FBD，并求

ED

DF

的值；
（3）求出F点坐标．

Answer 1

分析：（1）易得E点的纵坐标为3，F点的横坐标为4，把它们分别代入反比例函数y=

k

x

即可得到E点和F点的坐标；
（2）根据折叠的性质得∠EDF=∠C=90°，EC=ED，CF=DF，易证Rt△MED∽Rt△BDF；而EC=AC-AE=4-

k

3

，CF=BC-BF=3-

k

4

，得到ED=4-

k

3

，DF=3-

k

4

，即可得

ED

DF

的比值；
（3）由（2）的结论可得EM：DB=ED：DF=4：3，而EM=3，从而求出BD，然后在Rt△DBF中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程求出k的值即可得到F点的坐标．

解答：（1）解：E（

k

3

，3），F（4，

k

4

）；

（2）证明：∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF=∠C=90°，EC=ED，CF=DF，
∴∠MDE+∠FDB=90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED=90°，
∴∠MED=∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
又∵EC=AC-AE=4-

k

3

，CF=BC-BF=3-

k

4

，
∴ED=4-

k

3

，DF=3-

k

4

，
∴

ED

DF

=

4- k 3

3- k 4

=

4

3

；

（3）解：∵EM：DB=ED：DF=4：3，而EM=3，
∴DB=

9

4

，
在Rt△DBF中，DF²=DB²+BF²，即（3-

k

4

）²=（

9

4

）²+（

k

4

）²，
解得k=

21

8

，
∴反比例函数解析式为y=

21

8x

，
把x=4代入得y=

21

32

，
∴F点的坐标为（4，

21

32

）．

点评：本题考查了反比例函数的性质：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质．