Question

如图，过A（8，0）、B（0，8）两点的直线与直线y=x交于点C，平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）。

（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）C（4，），t的取值范围是：0≤x≤4； （2）∵D点的坐标是（t，），E的坐标是（t，）， ∴DE=， ∴等边△DEF的DE边上的高为：12-3t， ∴当点F在BO边上时：12-3t=t，∴t=3， ①当0≤t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-， S=， = =； ②当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形， S==； （3）存在，P（，0）， ∵FO≥，FP≥，OP≤4， ∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP， 若FO=FP时，t=2（12-3t），t=， ∴P（，0）。