Question

13、如果关于x的一元二次方程a（1+x²）+2bx-c（1-x²）=0有两个相等的实数根，那么以a，b，c为三边的△ABC是什么三角形？请说明理由．

Answer 1

分析：先把方程变为一般式：（a+c）x²+2bx+a-c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）²-4（a+c）（a-c）=4（b²+c²-a²）=0，则有b²+c²-a²=0，即b²+c²=a²，根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状．

解答：解：△ABC是以a为斜边的直角三角形．
理由如下：
去括号，整理为一般形式为：（a+c）x²+2bx+a-c=0，
∵关于x的一元二次方程a（1+x²）+2bx-c（1-x²）=0有两个相等的实数根．
∴△=0，即△=（2b）²-4（a+c）（a-c）=4（b²+c²-a²）=0．
∴b²+c²-a²=0，即b²+c²=a²．
所以△ABC是以a为斜边的直角三角形．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了勾股定理的逆定理．