Question

2．如图1，将一副普通的三角板拼在一起放在一量角器上，将其抽象成几何图形如图2所示，两块三角板拼成四边形ABCD，量角器的圆心为AB的中点O，量角器与三角板的其他交点分别为点D，E，F．
（1）求证：△OED≌△OFA．
（2）四边形OECF中是否能作出一个内切圆⊙M，使得⊙M与四边形OECF的四边都相切，如果能请找出⊙O的圆心点M的位置，如果不能说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠OAF=∠ODE，根据等腰三角形的性质得到∠AFO=∠FAO=∠OED=∠ODE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图；连接OC；根据全等三角形的性质得到∠FCO=∠ECO，∠FOC=∠EOC，∠CFO=∠CEO；即OC平分∠FCE和∠FOE；作∠CFO的角平分线交OC于P，作∠CEO的角平分线交OC于Q；于是得到∠CFP=∠CEQ，根据全等三角形的性质得到CP=CQ，即P、Q重合；于是得到结论．

解答 解：（1）∵∠FAD=∠EDA，∠OAD=∠ODA，
∴∠OAF=∠ODE，
∵OA=OF，OD=OE，
∴∠AFO=∠FAO，∠OED=∠ODE，
∴∠AFO=∠FAO=∠OED=∠ODE，
在△OED与△OFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OED}\\{∠OFA=∠ODE}\\{OA=OE}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△OFA；

（2）如图；
四边形OECF中，OF=OE，FC=CE；
连接OC；
则△COF≌△COE；
∴∠FCO=∠ECO，∠FOC=∠EOC，∠CFO=∠CEO；
即OC平分∠FCE和∠FOE；
作∠CFO的角平分线交OC于P，作∠CEO的角平分线交OC于Q；
∴∠CFP=∠CEQ，
在△CFP与△CEQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠FCP=∠ECQ}\\{CF=CE}\\{∠CFP=∠CEQ}\end{array}\right.$，
∴△CFP≌△CEQ；
∴CP=CQ，即P、Q重合；
因此四边形OECF的四个内角平分线相交于同一点，由角平分线的性质可知：这个交点到四边形OECF的四边距离都相等，因此四边形OECF一定有内切圆．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确的周长辅助线是解题的关键．