Question

6．阅读材料：
求l+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．
解：设S=l+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，将等式两边同时乘2，
得2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴．
将下式减去上式，得2S-S=2²⁰¹⁴一l
即S=2²⁰¹⁴一l，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴一l
仿照此法计算：
（1）1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰
（2）1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}\frac{1}{2^3}$+…+$\frac{1}{{{2^{100}}}}$．

Answer 1

分析 （1）设S=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，两边乘以3得出3S=3+3²+3³+3⁴+3⁵+…+3¹⁰⁰+3¹⁰¹，将下式减去上式即可得出答案；
（2）设S=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$，两边乘以$\frac{1}{2}$得出$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$，将下式减去上式即可得出答案．

解答 解：（1）设S=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，
两边乘以3得：3S=3+3²+3³+3⁴+3⁵+…+3¹⁰⁰+3¹⁰¹，
将下式减去上式，得3S-S=3¹⁰¹-l
即S=$\frac{{3}^{101}-1}{2}$，
即1+3+3²+3³+3⁴+…+3¹⁰⁰=$\frac{{3}^{101}-1}{2}$

（2）设S=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$，
两边乘以$\frac{1}{2}$得：$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$，
将下式减去上式得：-$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{{2}^{101}}$-1，
解得：S=2-$\frac{1}{{2}^{100}}$，
即1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$=2-$\frac{1}{{2}^{100}}$．

点评 本题考查了有理数的混合运算的应用，能读懂题意是解此题的关键，主要培养学生的理解能力．