Question

如图1，已知直线与抛物线交于两点．

(1）求两点的坐标；

(2）求线段的垂直平分线的解析式；

(3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

答案：

解：(1)依题意得，解；或，∴A(6，－3)，B(－4，2)，

(2)作AB的垂直平分线交轴，轴于C，D两点，交AB于M．

由(1)可知：OA=、OB=。

∴AB=。∴。

过B作BE⊥轴，E为垂足。

由△BEO∽OMC，得：，

∴，同理：，∴，。

设CD的解析式为。

∴∴

∴AB的垂直平分线的解析式为：

 (3)若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于G、H两点。

∴

∴

∵抛物线与直线只有一个交点，(可用转换)

∴，∴。∴。

在直线GH：中，

∴，

∴。设O到GH的距离为，

∴。

∴。

∴

∵AB∥GH，∴P到AB的距离等于O到GH的距离。

∴。