题目内容

如图，已知二次函数的图像经过点B（1,2），与轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥轴垂足为点M．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线BM上有点P（1，），联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为

顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；

若不存在，请说明理由。

答案：（1）∵点B（1,2）在二次函数的图像上，

  ∴ -

∴二次函数的解析式为-

（2）直线CP与直线CA的位置关系是垂直

∵二次函数的解析式为

∴点A(3,0)   C(2,2)

∵P（1，）

∴      

∴    ∴∠PCA=90°

即CP⊥CA

(3)  假设在坐标轴上存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，

∵∠PCA=90°

则①当点E在轴上，PE//CA

∴△CBP∽△PME ， ∴，∴，∴---------------(2分)

②当点E在轴上， PC//AE

∴△CBP∽△AOE，  ∴，∴，∴--------------(2分)

即点Q的坐标、时，以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形。

练习册系列答案
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如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上精英家教网的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．
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（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为
（
6
7
，0）
（
6
7
，0）
；
（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．
①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．
（2013•常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，-3），B（
3
，
3
），对称轴为直线x=-
1
2
，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=
1
3
MP，MD=
1
3
OM，OE=
1
3
ON，NF=
1
3
NP．
（1）求此二次函数的解析式；
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（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点C的坐标；
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如图，已知二次函数的图象（0≤x≤3.4），关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）

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