Question

（2013•常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，-3），B（

3

，

3

），对称轴为直线x=-

1

2

，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=

1

3

MP，MD=

1

3

OM，OE=

1

3

ON，NF=

1

3

NP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形；
（3）根据已知条件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以证明矩形PMON是正方形．这样点P就是抛物线y=x²+x-3与坐标象限角平分线y=x或y=-x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标．符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个．

解答：（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+

1

2

）²+k，
∵点A（0，-3），B（

3

，

3

）在抛物线上，
∴

1 4 a+k=-3 a( 3 + 1 2 )2+k= 3

，
解得：a=1，k=-

13

4

．
∴抛物线的解析式为：y=（x+

1

2

）²-

13

4

=x²+x-3．

（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．
∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴四边形PMON为矩形，
∴PM=ON，PN=OM．
∵PC=

1

3

MP，OE=

1

3

ON，
∴PC=OE；
∵MD=

1

3

OM，NF=

1

3

NP，
∴MD=NF，
∴PF=OD．
在△PCF与△OED中，

PC=OE ∠FPC=∠DOE=90° PF=OD

∴△PCF≌△OED（SAS），
∴CF=DE．
同理可证：△CDM≌△FEN，
∴CD=EF．
∵CF=DE，CD=EF，
∴四边形CDEF是平行四边形．

（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形．
设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=

1

3

m，MC=

2

3

m，MD=

1

3

n，PF=

2

3

n．
若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，
∴

PC

MD

=

PF

MC

，即

1 3 m

1 3 n

=

2 3 n

2 3 m

，化简得：m²=n²，
∴m=n，即矩形PMON为正方形．
∴点P为抛物线y=x²+x-3与坐标象限角平分线y=x或y=-x的交点．
联立

y=x2+x-3 y=x

，
解得

x1= 3 y1= 3

，

x2=- 3 y2=- 3

，
∴P₁（

3

，

3

），P₂（-

3

，-

3

）；
联立

y=x2+x-3 y=-x

，
解得

x1=-3 y1=3

，

x2=1 y2=-1

，
∴P₃（-3，3），P₄（1，-1）．
∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P₁（

3

，

3

），P₂（-

3

，-

3

），P₃（-3，3），P₄（1，-1）．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题．第（2）问的要点是全等三角形的证明，第（3）问的要点是判定四边形PMON必须是正方形，然后列方程组求解．