如图所示.在平面直角坐标系内.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.且A.B两点的横坐标分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根．(1)求抛物线的解析式,(2)若抛物线的顶点为M.作点M关于x轴的对称点N.顺次连接A.M.B.N.在抛物线上存在点D.使直线CD将四边形AMBN分成面积相等的两个四边形.求点D的坐标,(3)在抛物线上是否存在点P.使△PBC中BC� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图所示，在平面直角坐标系内，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的横坐标分别是方程x²-2x-3=0的两个实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，作点M关于x轴的对称点N，顺次连接A，M，B，N，在抛物线上存在点D，使直线CD将四边形AMBN分成面积相等的两个四边形，求点D的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PBC中BC边上的高为$\sqrt{2}$？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据解方程，可得A，B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行四边形的性质，可得CE，根据解方程组，可得答案；
（3）根据三角形的面积，可得一元二次方程，根据解方程，可得自变量的值，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．

解答解：（1）x²-2x-3=0，得
x₁=3，x₂=-1，
A（-1，0），B（3，0）．
将A，B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线y=-x²+2x+3；
（2）如图1，
当x=0时，y=3，即C（0，3），
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，即M（1，4），
点M关于x轴的对称点N，得
N（1，-4）．
由AMBN是平行四边形，得
E是平行四边形的中点，E（1，0），
连接CE交抛物线E点，
联立抛物线于CE，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$（不符合题意，舍），$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-12}\end{array}\right.$，
即E（5，-12）；
（2）在抛物线上存在点P，使△PBC中BC边上的高为$\sqrt{2}$，
如图2，
作PF⊥BC于F点，PD⊥AB于D交BC于E点，
BC的解析式为y=-x+3，
设P（m，-m²+2m+3），E（m，-m+3），
PE=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$BC•PF=$\frac{1}{2}$PE•（x_B-x_C），
$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3
得m²-3m+2=0，
解得m₁=1，m₂=2，
P（1，4），（2，3）．

点评本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是解方程得出A，B点坐标，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用平行四边形的性质得出CE，又利用了解方程组；解（3）的关键是利用三角形的面积得出$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×3，又利用了解一元二次方程，自变量与函数值的对应关系．

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