Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；  
（2）求证：DE为⊙O的切线；  
（3）若⊙O的直径为13，BC=10，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵BD=DC，
∴AB=AC；

（2）证明：连接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE为⊙O的切线；

（3）解：过D作DF⊥AB于F，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠CAB，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，BD=BC=×10=5，AB=13，由勾股定理得：AD=12，
由三角形面积公式得：AB×DF=AD×BD，
∴12×5=13×DF，
∴DF=，
即DE=DF=．
分析：（1）根据圆周角定理求出AD⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）根据三角形中位线性质得出OD∥AC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（3）求出BD，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出DF即可．
点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线，三角形中位线，三角形面积，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，综合性比较强．