Question

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D．交⊙O于点A，延长AD与⊙0交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；    
（2）若tan∠F=，求cos∠ACB的值．

Answer 1

解：（1）证明：连接OB，
∵PB与圆O相切，
∴PB⊥OB，即∠OBP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴AP⊥OA，
则直线PA为⊙O的切线；

（2）连接AE，则∠FAE=90°．
∵tan∠F=，
∴=，
∴可设AE=x，AF=2x，
则由勾股定理，得
EF==x，
∵AE•AF=EF•AD，
∴AD=x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2AD=x，
∴Rt△ABC中，AC=x，AB=x，
∴BC=x
∴cos∠ACB==．
分析：（1）连接OB，证明△POB≌△POA，根据全等三角形的对应角相等证得∠OAP=90°，即直线PA为⊙O的切线；    
（2）连接AE，构建直角△AEF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设AE=x，AF=2x，进而可得EF=x；然后由面积法求得AD=x，所以根据垂径定理求得AB的长度，在Rt△ABC中，根据勾股定理易求BC=x；最后由余弦三角函数的定义求解．
点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．