Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DC交AB于E，过C作⊙O的切线交DB的延长线于M，若AB=4，∠ADC=45°，∠M=75°，则CD的长为（　　）

• A．

  3

• B．2
• C．3

  3

• D．2

  3

Answer 1

分析：连接OC，过O作OF⊥CD，利用垂径定理得到F为CD的中点，根据CM为圆O的切线，得到CM垂直于OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOC为直角，再利用圆周角定理求出∠CDM的度数，根据∠M的度数求出∠DCM的度数，进而求出∠COF的度数，利用锐角三角函数定义求出CF的长，根据CD=2CF即可求出CD的长．

解答：解：连接OC，过O作OF⊥CD，利用垂径定理得到F为CD的中点，
∵CM为圆O的切线，
∴∠OCM=90°，
∵∠ADC与∠AOC都对

AC

，
∴∠AOC=2∠ADC=90°，
∴∠CDM=

1

2

∠BOC=45°，
∵∠M=75°，
∴∠DCM=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OCF中，OC=2，
∴CF=OC•cos∠OCF=

3

，
则CD=2CF=2

3

．
故选D．

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，以及三角形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．