Question

如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP=

1

3

∠DAB，∠DCP=

1

3

∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理表示出∠DAP-∠DCP，∠DAO-∠BCO，然后代入数据进行计算即可得解；
（2）与（1）的思路相同，然后代入数据进行计算即可得解．

解答：解：（1）根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P=

1

2

（∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P=

1

2

（38°+28°）=33°；

（2）根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP=

1

3

∠DAB，∠DCP=

1

3

∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P=

1

3

（∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P=

1

3

（β+2α）．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，此类题目的特点是思路相同．