Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x²﹣3x+2=0，
解方程，得x₁=1，x₂=2，
经检验，可知x₁=1，x₂=2符合题意，
所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．
（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，
因此有或
即①，或②
解①，得t=；解②，得t=
经检验，t=或t=都符合题意，
所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．