Question

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．

Answer 1

【答案】分析：由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r≠0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．
解答：解：（1）若r=0，x=，原方程无整数根；
（2）当r≠0时，x₁+x₂=-，x₁x₂=；
消去r得：4x₁x₂-2（x₁+x₂）+1=7，
即（2x₁-1）（2x₂-1）=7，
∵7=1×7=（-1）×（-7），
∴①，解得，
∴1×4=，解得r=-；
②，解得；
同理得：r=-，
③，解得，r=1，
④，解得，r=1．
∴使得关于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根的r值是-或1．
点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．