Question

试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．

Answer 1

分析：由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r≠0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．

解答：解：（1）若r=0，x=

1

2

，原方程无整数根；
（2）当r≠0时，x₁+x₂=-

r+2

r

，x₁x₂=

r-1

r

；
消去r得：4x₁x₂-2（x₁+x₂）+1=7，
即（2x₁-1）（2x₂-1）=7，
∵7=1×7=（-1）×（-7），
∴①

2x1-1=1 2x2-1=7

，解得

x1=1 x2=4

，
∴1×4=

r-1

r

，解得r=-

1

3

；
②

2x1-1=7 2x2-1=1

，解得

x1=4 x2=1

；
同理得：r=-

1

3

，
③

2x1-1=-1 2x2-1=-7

，解得

x1=0 x2=-3

，r=1，
④

2x1-1=-7 2x2-1=-1

，解得

x1=-3 x2=0

，r=1．
∴使得关于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根的r值是-

1

3

或1．

点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．