Question

如图，点C、D分别在⊙O的半径OA、OB的延长线上，且OA=6，AC=4，CD平行于AB，并与AB相交于MN两点．若tan∠C=

1

2

，则CN的长为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：过O作OF⊥CD于F，交AB于E，连接OM，根据解直角三角形和勾股定理求出OE、AE，根据相似得出比例式，求出CF、OF，根据勾股定理求出FM，即可求出答案．

解答：解：过O作OF⊥CD于F，交AB于E，连接OM，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，∠OAB=∠C，
∵tan∠C=

1

2

，
∴tan∠OAB=

1

2

=

OE

AE

，
设OE=x，AE=2x，
在Rt△OEA中，由勾股定理得：6²=x²+（2x）²，
解得：x=

6 5

5

，
则OE=

6 5

5

，AE=

12 5

5

，
∵AB∥CD，
∴△OAE∽△OCF，
∴

AE

CF

=

OA

OC

=

OE

OF

，
∴

12 5 5

CF

=

6

6+4

=

6 5 5

OF

，
∴CF=4

5

，OF=2

5

在Rt△OMF中，由勾股定理得：MF=

62-(2 5 )2

=4，
∵OF⊥CD，OF过O，
∴NF=MF=4，
∴CN=CF+NF=4

5

+4，
故答案为：4

5

+4．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的应用，题目是一道比较好的题目，但是有一定的难度．