Question

1．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的顶点A落在y轴上，点C落在x轴上，随着顶点C中原点O向x轴的正半轴方向移动，顶点A也沿y轴的负半轴方向运动到O，当顶点A和原点O重合时，顶点D的坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），在整个运动过程中，点D的移动长度是4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 如图1中，顶点A和原点O重合时，作DH⊥OC于H．利用等腰三角形的性质即可解决问题．如图2中，作DE⊥OA于E，DF⊥OC于F，取AC中点H，连接OH，DH．首先证明点D在∠AOC的平分线上运动，求出OD的最大值、最小值，再判断点D的运动路径即可解决问题．

解答 解：如图1中，顶点A和原点O重合时，作DH⊥OC于H．

∵AC=2$\sqrt{2}$，△ADC是等腰直角三角形，
∴DH=OH=$\sqrt{2}$，
∴D（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
如图2中，作DE⊥OA于E，DF⊥OC于F，取AC中点H，连接OH，DH．

∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∵DA=DC，∠DEA=∠DFC，
∴△DEA≌△DFC，
∴DE=DF，
∵DE⊥OA于E，DF⊥OC于F，
∴∠DOE=∠DOF=45°，
∴点D在∠AOC的平分线上运动，
∵OD≤DH+OH，
∴OD≤2$\sqrt{2}$，
∴OD的最大值为2$\sqrt{2}$，
当A与O重合时，OD的值最小，最小值为2，当C与O重合时，OD的值最小，最小值为2，
观察图象可知，OD的值逐渐增大然后逐渐减小，
∴点D的移动长度=2（2$\sqrt{2}$-2）=4$\sqrt{2}$-4，
故答案为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查了正方形的性质（四边相等，四角相等，对角线互相垂直平分，且平分每一组对角）以及坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理的运用，三角形的三边关系的运用．