题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A₁是以原点O为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x轴的直线l₁的一个交点；点A₂是以原点O为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x轴的直线l₂的一个交点；点A₃是以原点O为圆心，半径为4的圆与过点（0，3）且平行于x轴的直线l₃的一个交点；点A₄是以原点O为圆心，半径为5的圆与过点（0，4）且平行于x轴的直线l₄的一个交点
（1）分别求出A₁、A₂、A₃、A₄四点的坐标；
（2）按照这样的规律进行下去，猜想、归纳点A_n的坐标为______；
（3）A₁、A₂、A₃、A₄四点在同一条直线上吗？如果在，求出该直线的解析式，如果不在，试判断这四个点所在的函数图象，并证明你的结论．

解：（1）A₁（ $\text{[math]}$ ，1）、A₂（ $\text{[math]}$ ，2）、A₃（ $\text{[math]}$ ，3）、A₄（3，4）；

（2）A_n（ $\text{[math]}$ ，n）；

（3）不在同一条直线上，四点在抛物线上
令 $\text{[math]}$ ．
消去n得y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ ，
该函数为二次函数，其图象是抛物线．
分析：在（1）中，可连接OA₁，OA₂，OA₃，
在直角三角形OA₁M中，可得出A₁B= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，因此A₁（ $\text{[math]}$ ，1）；
在直角三角形OA₂N中，可得出A₂C= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，因此A₂（ $\text{[math]}$ ，2）；
在直角三角形OA₃Q中，可得出A₃D= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，因此A₃（ $\text{[math]}$ ，3）；
…
（2）根据（1）题，易求出A_n（ $\text{[math]}$ ，n），即A_n（ $\text{[math]}$ ，n）；
（3）题已知了A_n的横坐标和纵坐标的表达式，可联立两个含n的表达式，消去n后即可得出四点所在函数的解析式．
点评：本题结合圆的相关知识考查了动态性和规律性问题，找出点A的坐标的规律是解题的关键．