Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，PO⊥AB，PE是⊙O的切线，交AB的延长线于点C，切点为E，AE交PO于点F．

（1）求证：PEF是等腰三角形；

（2）在图中，作EH⊥AB，垂足为H，作弦BD∥PC，交EH于点G．若EG=5，sinC=，求直径AB的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）直径AB的长为20m

【解析】

（1）由切线性质得：OE⊥PC，根据垂直定义和三角形定理可得：∠AEP=∠PFE，根据等角对等边可得结论；
（2）先根据sinC==，设OH=3x，OE=5x，则EH=4x，OA=OB=5x，由平行线性质得：∠GBH=∠C，
列式为：
=，解方程可得结论．

（1）证明：∵PE为⊙O的切线，

∴OE⊥PC，

∴∠OEP=90°，

∴∠OEA+∠AEP=90°，

∵OP⊥AC，

∴∠AOF=90°，

∴∠A+∠AFO=90°，

∵∠AFO=∠PFE，

∴∠PFE+∠A=90°，

∵OA=OE，

∴∠A=∠OEA，

∴∠AEP=∠PFE，

∴PE=PF；

∴△PEF是等腰三角形；

（2）解：∵∠C+∠COE=90°，∠COE+∠OEH=90°，

∴∠C=∠OEH，

∵sin∠C==sin∠OEH=，

设OH=3x，OE=5x，则EH=4x，OA=OB=5x，

∴BH=OB﹣OH=2x，GH=4x﹣5，

∵BG∥PC，

∴∠GBH=∠C，

∵sin∠C=，

∴tan∠C==tan∠GBH，

∴，x=2，

∴AB=10x=20，

答：直径AB的长为20m．