Question

如图（1），AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S_△DMC、S_△DAC和S_△DBC分别

表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，有

S_△DMC＝           ①

（1）如图（2），若图（1）中AB∥CD时，①式是否成立？请说明理由．

（2）如图（3），若图（1）中AB与CD相交于点O时，S_△DMC与S_△DAC和S_△DBC有何种相等关系？证明你的结论．

图（1）          图（2）           图（3）

Answer 1

【答案】（1）当AB∥CD时，①式仍成立．

分别过A、M、B作CD的垂线，AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F．

∵  M为AB的中点，

∴  MN＝（AE＋BF）．

∴  S_△DAC＋S_△DBC＝DC·AE＋DC·BF＝DC·（AE＋BF）＝2 S_△DMC．

∴  S_△DMC＝

（2）对于图（3）有S_△DMC＝．

证法一：∵  M是AB的中点，S_△ADM＝S_△BDM，S_△ACM＝S_△BCM，

S_△DBC＝S_△BDM＋S_△BCM＋S_△DMC，                    ①

S_△DAC＝S_△ADM＋S_△ACM－S_△DMC                     ②

①－②得：S_△DBC－S_△DAC＝2 S_△DMC

∴  S_△DMC＝．

证法二：如右图，过A作CD的平行线l，MN⊥l，垂足为N，BE⊥l，垂足为E．设A、M、B到CD的距离分别h₁、h₀、h₂．则MN＝h₁＋h₀，BE＝h₂＋h₁．

∵  AM＝BM，

∴  BE＝2 MN．

∴  h₂＋h₁＝2（h₁＋h₀），

∴  h₀＝．

∴  S_△DMC＝．