Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（6，0），C（0，），延长AC到点D，使CD=AC，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E。

（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在线段GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）

Answer 1

解：（1）如图，∵A（-6，0），C（0，4） ∴OA=6，OC=4， 设DE与y轴交于点M 由DE∥AB可得△DMC∽△AOC， 又CD=AC， ∴， ∴CD=2，MD=3，同理可得EM=3， ∴OM=6， ∴D点的坐标为（3，6）； （2）由（1）可得点M的坐标为（0，6）， 由DE∥AB，EM=MD， 可得y轴是线段ED的垂直平分线， ∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上， ∴ED与CF互相垂直平分， ∴CD=DF=FE=EC， ∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心， 作直线BM，设BM与CD、EF分别交于点S、T，可证△FTM≌△CSM， ∴FT=CS， ∵FE=CD， ∴TE=SD， ∵EC=DF， ∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS， ∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，由点B（6，0），点M（0，6）在直线y=kx+6上，可得直线BM的解析式为； （3）确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点， 由OB=6，可得∠OBM=60°， ∴∠BAH=30°， 在Rt△OAG中，OG=AO·tan∠BAH=， ∴G的坐标为（0，）。（或G点的位置为线段OC的中点）