Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+2mx+3m2与x轴相交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E．

（1）如图1，当AO+BC＝7时，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点F是抛物线的对称轴右侧一点，连接BF、CF、DF，过点F作FH∥x轴交DE于点H，当∠BFC＝∠DFB+∠BFH＝90°时，求点H的纵坐标；

（3）如图3，在（1）的条件下，点P是抛物线上一点，点P、点A关于直线DE对称，点Q在线段AP上，过点P作PR⊥AP，连接BQ、QR，满足QB平分∠AQR，tan∠QRP＝，点K在抛物线的对称轴上且在x轴下方，当CK＝BQ时，求线段DK的长．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）1；（3）7

【解析】

（1）根据抛物线与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，点为抛物线的顶点，，可以求得的值，从而可以求得该抛物线的解析式；

（2）根据题意和三角形相似，作出合适的辅助线，可以求得点的纵坐标；

（3）根据在（1）的条件下，点是抛物线上一点，点、点关于直线对称，点在线段上，过点作，连接、，满足平分，，点在抛物线的对称轴上且在轴下方，，利用勾股定理和三角形的全等可以求得线段的长．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2mx+3m2＝﹣（x﹣m）2+4m2＝﹣（x﹣3m）（x+m），

∴当x＝0时，y＝3m2，当y＝0时，x＝3m或x＝﹣m，该抛物线的顶点坐标为（m，4m2），

∵抛物线y＝﹣x2+2mx+3m2与x轴相交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴相交于点A，点D为抛物线的顶点，

∴点A（0，3m2），点B（﹣m，0），点C（3m，0），点D（m，4m2），

∴AO＝3m2，BC＝4m，

∵AO+BC＝7，

∴3m2+4m＝7，

解得，m1＝1，m2＝﹣（舍去），

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）连接EF，如图2所示，

∵点B（﹣m，0），点C（3m，0），点D（m，4m2），点E是对称轴与x轴的交点，

∴BE＝CE＝2m，BC＝4m，

∵∠BFC＝90°，

∴EF＝BC＝2m，

∵HF∥x轴，

∴∠HFB＝∠FBE，

∵EF＝BE，

∴∠FBE＝∠BFE，

∴∠HFB＝∠BFE，

∵∠DFB+∠BFH＝90°，

∴∠DFB+∠BFE＝90°，

∴∠DFE＝90°，

∵∠DFE＝∠FHE＝90°，∠DEF＝∠FEH，

∴△DFE∽△FHE，

，

，

解得，EH＝1，

∴点E的纵坐标为1；

（3）如图3，过点B作BM⊥PA交PA的延长线于点M，作BG⊥QR于点G，延长PR交x轴于点N，连接BR，

则四边形MBNP是矩形，

由（1）知点A（0，3），点D（1，4），点B（﹣1，0），点C（3，0），

∵点P与点A关于直线DE对称，

∴点P的坐标为（2，3），

∴点N（2，0）

∴BM＝BN＝3，

∴四边形MBNP是正方形，

∵QB平分∠AQR，

∴BM＝BG，

∴BG＝BN，

∵∠MQB＝∠GQB，∠QMB＝∠QGB＝90°，QB＝QB，

∴△MQB≌△GQB（AAS），

∴MQ＝GQ，

同理可证，△BGR≌△BNR，

∴GR＝NR，

∵tan∠QRP＝，

∴设PQ＝5k，则PR＝12k，QR＝13k，

∵MP＝3，

∴MQ＝3﹣5k，

∵NP＝3，

∴RN＝3﹣12k，

∵QR＝QG+GR，MQ＝GQ，GR＝NR，

∴13k＝3﹣5k+3﹣12k，

解得，k＝，

∴PQ＝1，MQ＝2，

∵CE＝BE＝2，

∴CE＝MQ，

∵CK＝BQ，

∴Rt△BMQ≌Rt△KEC（HL），

∴BM＝EK＝3，

∴DK＝DE+EK＝4+3＝7．