Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是AC的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AE=BF．
（1）求证：DE=DF；
（2）连接EF，求∠DEF的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=∠DEC=45°，AD=BD=DC，BD⊥AC，根据SAS推出△AED≌△BFD，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据△AED≌△BFD得出DE=DF，∠ADE=∠BDF，求出∠BDA=90°，推出∠EDF=∠BDA=90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出即可．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，∠ABC=90°AB=BC，D是AC的中点，
∴∠A=∠C=∠DEC=45°，AD=BD=DC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
在△AED和△BFD中，

AD=BD ∠A=∠∠DBF AE=BF

，
∴△AED≌△BFD（SAS），
∴DE=DF；

（2）解：∵△AED≌△BFD，
∴DE=DF，∠ADE=∠BDF，
∵BD⊥AC，
∴∠BDA=90°，
∴∠EDF=∠EDB+∠BDF=∠EDB+∠ADE=∠BDA=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△AED≌△BFD，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．