Question

2．如图，BE，CF是△ABC的高，点P在BE上，点Q在CF的延长线上，BP=AC，CQ=AB，
（1）求证：AP=AQ．
（2）AP与AQ有什么位置关系？写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由已知两对边相等，利用SAS即可得证；
（2）AP与AQ垂直，理由为：根据（1）的结论得到∠BAP=∠Q，∠Q+∠QAE=90°，利用等角的余角相等即可得证．

解答 证明：（1）∵∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABP+∠BAD=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ABP=∠QCA，
在△ABP和△QCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=AC}\\{∠ABP=∠QCA}\\{CQ=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP=AQ；
（2）AP⊥AQ，理由为：
由（1）得∠BAP=∠Q，∠Q+∠QAE=90°，
∴∠BAP+∠QAE=90°，
则AQ⊥AP

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．