Question

实数a，b，c满足a+b+c=2，且对任何实数t，都有不等式-t²+2t≤ab+bc+ca≤9t²-18t+10，求证：0≤a≤

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，0≤b≤

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，0≤c≤

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Answer 1

考点：根的判别式

专题：计算题

分析：通过配方法求得：对于任何实数t，有-t²+2t≤1，9t²-18t+10≥1．所以取特殊值t=1可以得到ab+bc+ca=1．然后结合已知条件求得a+b=2-c，ab=（c-1）²，则a、b是一元二次方程t²-（2-c）t+（c-1）²=0的两个实数根，利用根的判别式知3c²-4c≤0，通过解该不等式得到0≤c≤

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3

．同理0≤a≤

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3

，0≤b≤

4

3

．

解答：证明：∵对于任何实数t，有-t²+2t=-（t-1）²+1≤1，9t²-18t+10=9（t-1）²+1≥1，
∴t=1时，1≤ab+bc+ca≤1，
∴ab+bc+ca=1．
∵a+b+c=2，则a+b=2-c，
∴ab=1-c（a+b）=1-c（2-c）=（c-1）²，
则a、b是一元二次方程t²-（2-c）t+（c-1）²=0的两个实数根，
∴△=（2-c）²-4（c-1）²≥0，即3c²-4c≤0，
解得0≤c≤

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同理0≤a≤

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，0≤b≤

4

3

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点评：本题考查了根的判别式．利用判别式证明不等式，常常要把证明的内容通过韦达定理以及其它代数式变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．