题目内容

如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA₁B₁C的对角线A₁C和OB₁交于点M₁，以M₁A₁为对角线作第二个正方形A₂A₁B₂M₁，对角线A₁M₁和A₂B₂交于点M₂；以M₂A₁为对角线作第三个正方形A₃A₁B₃M₂，对角线A₁M₂和A₃B₃交于点M₃；…依此类推，这样作的第n个正方形对角线交点M_n的坐标为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：根据正方形的性质得到OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，设OM₁=M₁A₁=x，由勾股定理得到方程x²+x²=1²，解方程求出x的值，同理可以求出其它正方形的边长，进而得到M₁的坐标，M₂的坐标，…，依此类推可求出第n个正方形对角线交点M_n的坐标．
解答：设正方形的边长为1，
则正方形四个顶点坐标为O（0，0），C（0，1），B₁（1，1），A₁（1，0），
在正方形OA₁B₁C中，
∴OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，
设OM₁=M₁A₁=x，
由勾股定理得：x²+x²=1²，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
同理可求出OA₂=A₂M₁= $\text{[math]}$ ，A₂M₂= $\text{[math]}$ ，A₂A₃= $\text{[math]}$ ，…，
根据正方形对角线定理得M₁的坐标为（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）；
同理得M₂的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
M₃的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
…，
依此类推：M_n坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
故选A
点评：本题主要考查对正方形的性质，坐标与图形性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点的理解和掌握，能根据求出的数据得到规律是解此题的关键．