题目内容

已知半径为6的⊙O₁与半径为4的⊙O₂相交于点P、Q，且∠O₁PO₂=120°，点A为⊙O₁上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O₂交于点B，直线O₁A与直线O₂B交于点M．
（1）如图1，求∠AMB的度数；
（2）当点A在⊙O₁上运动时，是否存在∠AMB的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AMB的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AMB的度数同于（1）中结论；
（3）当点A在⊙O₁上运动时，若△APO₁与△BPO₂相似，求线段AB的长．

解：（1）∵A、P都在⊙O₁上，
∴∠A=∠APO₁，
同理，∠PBO₂=∠BPO₂，
∵AB是直线，∠O₁PO₂=120°，
∴∠APO₁+∠O₁PO₂+∠BPO₂=180°，
∴∠APO₁+∠BPO₂=60°，即∠A+∠PBO₂=60°，
∴∠O₁MO₂=180°-60°=120°；
即∠AMB=120°；

（2）存在，如图所示，
∵A、P都在⊙O₁上，
∴∠A=∠APO₁，
同理，∠PBO₂=∠BPO₂，
∴∠APO₁+∠BPO₂=120°，
∵∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO₂，
∴∠M=180°-∠BPO₂-∠A
=180°-∠BPO₂-∠APO₁=180°-120°=60°；

（3）∵△APO₁与△BPO₂相似，且△APO₁与△BPO₂都是等腰三角形，
∴底角∠APO₁=∠BPO₂，
情况一：当P在A、B之间时，∠APO₁=∠BPO₂=30°，
作O₁H⊥AB，O₂D⊥AB，
∴AP=2HP，BP=2PD，

∵O₁P=6，O_，2P=4，
∴HP= $\text{[math]}$ ，DP= $\text{[math]}$ ，
∴AB= $\text{[math]}$ ．
情况二：当P不在A、B之间时，∠APO₁=∠BPO₂=60°，
∴PA=O₁A=6，PB=O₂B=4，
∴AB=2．
分析：（1）由等边对等角得∠A=∠APO₁与∠PBO₂=∠BPO₂，又由∠O₁PO₂=120°，可得∠A+∠PBO₂=60°，则可求得∠AMB的度数；
（2）根据题意作图，由∠A=∠APO₁与∠B=∠BPO₂，可得∠APO₁+∠BPO₂=120°，又由∠M+∠A=∠PBM=180°-∠BPO₂，则可求得∠AMB的度数；
（3）分两种情况分析：当P在A、B之间时，∠APO₁=∠BPO₂=30°，与当P不在A、B之间时，∠APO₁=∠BPO₂=60°，分析求解即可，注意不要漏解．
点评：此题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题图形较复杂，注意合理应用数形结合思想．