Question

（2011•成华区二模）如图，已知半径为R的⊙O₁的直径AB和弦CD交于点M，点A为

CD

的中点．半径为r的⊙O₂是过点A、C、M的圆，设点A到CD的距离为d．
（1）求证：r2=

1

2

Rd；
（2）连接BD，若AC=5，O1M=

7

6

，求BD的长；
（3）过点O₁作EF∥AC，交CD于点E，交过点B的切线于点F．连接AF，交CD于点G，求证：MG=CG．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理可得AB⊥CD，再根据相交弦定理可得CM²=AM•BM，根据勾股定理可得CM²=AC²-AM²，然后整理即可得证；
（2）用R、d表示出O₁M，然后联立关于R、d的二元二次方程消掉R，求解得到d的值，再利用勾股定理列式求出CM，然后根据△ACM和△DBM相似，利用相似三角形对应边成比例列出求解即可；
（3）根据切线定义可得BF⊥AB，得到BF∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠CEF，再根据EF∥AC利用两直线平行，内错角相等可得∠CEF=∠C，从而得到∠C=∠BFE，求出△ACM和△O₁FB相似，根据相似三角形对应边成比例可得

AM

O1B

=

CM

BF

，再根据△AGM和△ABF相似，利用相似三角形对应边成比例可得

AM

AB

=

MG

BF

，然后整理即可得证．

解答：（1）证明：∵直径AB和弦CD交于点M，点A为

CD

的中点，
∴AB⊥CD，
∴CM²=AM•BM，
即CM²=d（2R-d），
在Rt△ACM中，CM²=AC²-AM²=（2r）²-d²，
∴d（2R-d）=（2r）²-d²，
整理得，r²=

1

2

Rd；

（2）解：O₁M=AO₁-AM=R-d=

7

6

，
∴R=d+

7

6

，
∵AC=5，
∴r²=

1

2

Rd=（

5

2

）²=

25

4

，
∴Rd=

25

2

，
∴（d+

7

6

）d=

25

2

，
整理得，6d²+7d-75=0，
解得d₁=3，d₂=-

25

6

（舍去），
在Rt△ACM中，DM=CM=

AC2-AM2

=

52-32

=4，
∵∠ABD=∠ACD，∠AMC=∠DMB=90°，
∴△ACM∽△DBM，
∴

AM

DM

=

AC

BD

，
即

3

4

=

5

BD

，
解得BD=

20

3

；

（3）证明：∵BF是⊙O₁的切线，
∴BF⊥AB，
又∵AB⊥D，
∴BF∥CD，
∴∠BFE=∠CEF，
∵EF∥AC，
∴∠CEF=∠C，
∴∠C=∠BFE，
又∵∠AMC=∠ABF=90°，
∴△ACM∽△O₁FB，
∴

AM

O1B

=

CM

BF

，
即

d

R

=

CM

BF

，
∵BF∥CD，
∴△AGM∽△ABF，
∴

AM

AB

=

MG

BF

，
即

d

2R

=

MG

BF

，
∴CM=2MG，
∴MG=CG．

点评：本题是圆的综合题型，主要利用了垂径定理，相交弦定理，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，（1）利用两种方法表示出CM²是解题的关键，（2）难点在于联立两个方程消掉R求出d的值，（3）两次利用三角形相似求出d、R的关系是解题的关键．