题目内容
【题目】如图，已知一次函数y＝﹣x与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象相交于原点O和另一点A（4，﹣4）．
（1）求二次函数表达式；
（2）直线x＝m和x＝m+2分别交线段AO于C、D，交二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象于点E、F，当m为何值时，四边形CEFD是平行四边形；
（3）在第（2）题的条件下，设CE与x轴的交点为M，将△COM绕点O逆时针旋转得到△C′OM′，当C′、M′、F三点第一次共线时，请画出图形并直接写出点C′的纵坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x；（2）当m为1时，四边形CEFD是平行四边形；（3）图详见解析，C′（
，
）．
【解析】
（1）把（0，0），A（4，﹣4）代入y＝-x2+bx+c，即可求解；
（2）设C（m，﹣m），D（m+2，﹣m﹣2），表示出E，F坐标，根据CE∥DF，可得当CE＝DF时，四边形CEFD为平行四边形，即﹣m2+3m+m＝﹣m2﹣m+2+m+2，即可求解；
（3）作C′H⊥x轴于H，可证△FHC′∽△FM′O，则
，即
，即可求解．
解：（1）把（0，0），A（4，-4）代入y＝﹣x2+bx+c得
，
解得：
，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x；
（2）设C（m，﹣m），D（m+2，﹣m﹣2），
则E（m，﹣m2+3m），F[m+2，﹣（m+2）2+3（m+2）]，即F（m+2，﹣m2﹣m+2），
∵CE∥DF，
∴当CE＝DF时，四边形CEFD为平行四边形，
即﹣m2+3m+m＝﹣m2﹣m+2+m+2，
解得m＝1，
即当m为1时，四边形CEFD是平行四边形；
（3）画图如下，作C′H⊥x轴于H，
当m＝1时，C（1，-1），D（3，-3），F（3，0），即F点为抛物线与x轴的一个交点，
∴OM＝CM＝1，OC＝
，
∵△COM绕点O逆时针旋转得到△C′OM′，
∴OM′＝C′M′＝1，∠OM′C′＝∠OMC＝90°，
在Rt△OM′F中，FM′＝
＝2，
∴FC′＝2﹣1，
∵∠C′FH＝OFM′，
∴△FHC′∽△FM′O，
∴，即，
∴FH＝
，C′H＝，
∴OH＝OF﹣FH＝，
∴C′（，）．
