Question

如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A（0，1），点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC．
（1）求证：OB=AC；
（2）求∠CAP的度数；
（3）当B点运动时，AE的长度是否发生变化？

Answer 1

（1）证明：∵△BPC和△AOP是等边三角形，
∴OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，
∴∠APO+∠APB=∠BPC+∠APB，
即∠OPB=∠APC，
在△PBO和△PCA中，
，
∴△PBO≌△PCA （SAS），
∴OB=AC．

（2）解：由（1）知∠PBO=∠PCA，
∴∠BAC=∠BPC=60゜，
又∵∠OAP=60゜，
∴∠CAP=60゜．

（3）解：当B点运动时，AE的长度不发生变化，
理由是：∵∠EAO=∠BAC=60゜，∠AOE=90°，
∴∠AEO=30゜，
∴AE=2AO=2，
即当B点运动时，AE的长度不发生变化．
分析：（1）根据等边三角形性质得出OP=AP，BP=PC，∠APO=∠CPB=60°，求出∠OPB=∠APC，证出△PBO≌△PCAA即可；
（2）由（1）知∠PBO=∠PCA，根据∠BAC=∠BPC=60゜，即可求出答案．
（3）∠EAO=60゜，求出∠AEO=30゜，得出AE=2AO，求出即可．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．