Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，过A点作AT⊥FD，写出BD-CD与AT之间的数量关系并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：在BD上截取BF=CD，连接AD，求出∠ACD=∠ABF，求出三角形ABF和三角形ACD全等，推出AF=AD，求出三角形FAD是等腰直角三角形，即可得出答案．

解答：答：AT=

1

2

（BD-CD），
证明：在BD上截取BF=CD，连接AD，
∵CD⊥BD，
∴∠CDE=∠BAE=90°，
∵∠AEB=∠DEC，∠ABF+∠AEB+∠BAE=180°，∠DCE+∠DEC+∠CDE=180°，
∴∠ABF=∠DCE，
在△ABF和△ACD中，

AB=AC ∠ABF=∠ACD BF=CD

，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，∠BAF=∠DAC，
∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠DAC+∠FAE=∠FAD=90°，
即△FAD是等腰直角三角形，
∵AT⊥DF，
∴FT=TD，
∴AT=

1

2

DF=

1

2

（BD-CD）．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出三角形FAD是等腰直角三角形，题目比较好，有一定的难度．