题目内容
如图，五边形ABCDE是正五边形，有一点P，满足两个条件：△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形，则以下四个命题正确的是②③
②③
．①当点P在正五边形ABCDE的内部时，满足条件的点P有三个；
②当点P在正五边形ABCDE的边上时，点P与点E重合；
③当点P在正五边形ABCDE的外部时，满足条件的点P只有一个；
④在正五边形ABCDE的平面内，满足条件的点P有五个．
分析：作直线BE，则求出B、E到CD的距离相等，根据三角形面积公式求出P和E重合时符合；作直线GH∥BE，且到直线CD的距离等于BM，作AB的垂直平分线，即可得出符合的两个点，当AB为腰时，求出符合的一个点，即可判断各个答案．
解答：
解：过B作BM⊥CD于M，过E作EN⊥CD于N，
则∠BMC=∠END=90°，BM∥EN，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=FD，AB=AE，∠BCD=∠FDC，
∵∠BCM+∠BCD=180°，∠FDC+∠FDN=180°，
∴∠BCM=∠FDN，
在△BMC和△FND中
∴△BMC≌△END，
∴BM=EN，
∵BM∥EN，
∴四边形BMNE是平行四边形，
∴BM=EN，
即△BCD面积和△ECD面积相等，
∴当P和E重合时，符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；
作直线GH∥CD，且直线CD和直线GH之间的距离是BM，作线段AB的垂直平分线交BE于P2，交GH于P3，此时的两点符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；
以B为圆心，以AB为半径作弧，交BE于P4，此时符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；
∴当点P在正五边形ABCDE的内部时，满足条件的点P有二个，如有P2，P4，∴①错误；
当点P在正五边形ABCDE的边上时，点P与点E重合，∴②正确；
当点P在正五边形ABCDE的外部时，满足条件的点P只有一个，如有P3，∴③正确；
在正五边形ABCDE的平面内，满足条件的点P有2+1+1=4个，∴④错误；
故答案为：②③．
解：过B作BM⊥CD于M，过E作EN⊥CD于N，
则∠BMC=∠END=90°，BM∥EN，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=FD，AB=AE，∠BCD=∠FDC，
∵∠BCM+∠BCD=180°，∠FDC+∠FDN=180°，
∴∠BCM=∠FDN，
在△BMC和△FND中
|
∴△BMC≌△END，
∴BM=EN，
∵BM∥EN，
∴四边形BMNE是平行四边形，
∴BM=EN，
即△BCD面积和△ECD面积相等，
∴当P和E重合时，符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；
作直线GH∥CD，且直线CD和直线GH之间的距离是BM，作线段AB的垂直平分线交BE于P2，交GH于P3，此时的两点符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；
以B为圆心，以AB为半径作弧，交BE于P4，此时符合已知△BCD与△PCD面积相等，且△ABP是等腰三角形；
∴当点P在正五边形ABCDE的内部时，满足条件的点P有二个，如有P2，P4，∴①错误；
当点P在正五边形ABCDE的边上时，点P与点E重合，∴②正确；
当点P在正五边形ABCDE的外部时，满足条件的点P只有一个，如有P3，∴③正确；
在正五边形ABCDE的平面内，满足条件的点P有2+1+1=4个，∴④错误；
故答案为：②③．
点评：本题考查了正多边形的性质，全等三角形性质，三角形的面积，等腰三角形的性质的应用，能求出符合条件的所有点是解此题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，矩形ABCD的长，宽分别为
如图，矩形ABCD的长、宽分别为3和2，OB=2，点E的坐标为（3，4）连接AE、ED．
如图，四边形ABCD的内角和为2×180°=360°，五边形ABCDE的内角和为3×180°=540°，…由此可见：