题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=- $数学公式$ x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上且位于y轴右侧的一个动点．
（1）点A，B，C的坐标是A，B，C．
（2）当△CBD为等腰三角形时，点D的坐标是．
（3）在（2）中，当点D在第四象限时，过点D的反比例函数解析式是__．

解：（1）解方程组 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，则点A的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
把y=0代入y=x+1得x+1=0，解得x=-1，则B点坐标为（-1，0）；
把y=0代入y=- $\text{[math]}$ x+3得- $\text{[math]}$ x+3=0，解得x=4，则C点坐标为（4，0）；
（2）当DB=DC时，点D坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
当BD=BC时，点D的坐标为（8，-3）；
（3）设反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ，把D（8，-3）代入得k=-3×8=-24，
所以反比例函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ ．
故答案为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；（-1，0）；（4，0）；（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（8，-3）；y=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先把y=x+1与y=- $\text{[math]}$ x+3联立起来组成方程组，解方程组可得到A点坐标；再把y=0分别代入两函数解析式可确定B点与C点坐标；
（2）分类讨论：当DB=DC，则D点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，然后把x= $\text{[math]}$ 代入y=- $\text{[math]}$ x+3可确定D点的纵坐标；当BC=BD=5，设D点坐标为（x、y），然后利用勾股定理建立等量关系求解；
（3）利用待定系数法求反比例解析式．
点评：本题考查了两直线平行或相交的问题：直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直线y=k₂x+b₂（k₂≠0）平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直线y=k₂x+b₂（k₂≠0）相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．