Question

如图，在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，OP与AC相交与点M，则下列结论：
①点O是△PBC的外心；②△MAO∽△MPC；③AC=AO+AP；④S_△ABC=S_{四边形AOCP}．
其中正确的有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：①连接OB，根据AD⊥BC，AB=AC，可知AD是CB中垂线，即可证明OB=OC，即可得OB=OC=OP，即可得点O是△PBC的外心；
②易证得△OPC是等边三角形，即可得∠OAM=∠CPM=60°，又由对顶角相等，即可证得△MAO∽△MPC；
③首先在AC上截取AE=PA，易得△APE是等边三角形，继而利用证得△OPA≌△CPE，即可得AC=AO+AP；
④过点C作CH⊥AB于H，易得S_△ABC=AB•CH，S_{四边形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=AP•CH+OA•CD=AP•CH+OA•CH=CH•（AP+OA）=CH•AC，即可得S_△ABC=S_{四边形AOCP}．
解答：解：①连接OB，
∵在等腰△ABC中AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴OB=OC，
∵OP=OC，
∴点O是△PBC的外心；
故①正确；
②∵在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB==30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴∠OPC=60°，
∵∠OAM=∠BAC=60°，
∴∠OAM=∠CPM，
∵∠AMO=∠CMP，
∴△MAO∽△MPC；
故②正确；
③在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正确；
④过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S_△ABC=AB•CH，S_{四边形AOCP}=S_△ACP+S_△AOC=AP•CH+OA•CD=AP•CH+OA•CH=CH•（AP+OA）=CH•AC，
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_{四边形AOCP}．
故④错误．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形外接圆的知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．