Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC，∠B＝60°，E是BC边上一点．

（1）如图1，若E是BC的中点，∠AED＝60°，求证：CE＝CD；

（2）如图2，若∠EAD＝60°，求证：△AED是等边三角形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据AB＝BC，∠B＝60°得三角形ABC为等边三角形，再根据等边三角形的性质得AE⊥BC，进而证明∠EDC＝∠DEC即可；

（2）连接AC，根据两条线平行，同旁内角互补和三角形内角和定理得∠ADC＝120°﹣∠BAE，∠AEB＝120°﹣∠BAE，即可证明△ABE≌△ACD，进而得结论．

（1）∵AB＝BC，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°＝∠BAC，

∵E是BC的中点，

∴AE⊥BC，

∴∠AEC＝90°，

∵∠AED＝60°，

∴∠DEC＝30°，

∵AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC＝60°，

∴∠ECD＝∠ACE+∠ACD＝120°，

∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠CED＝∠CDE，

∴CE＝CD．

（2）如图：连接AC，

∵AB＝BC，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，

∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC＝180°，

∵∠EAD＝60°，

∴∠ADC＝180°﹣∠EAD﹣∠EAB＝120°﹣∠EAB．

在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠EAB＝120°﹣∠EAB，

∴∠AEB＝∠ADC，

∵∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC＝60°，

∴∠BAE＝∠DAC，

∴△ABE≌△ACD（AAS），

∴AE＝AD，

∠EAD＝60°，

∴△AED是等边三角形．