Question

如图所示，已知正方形ABCD的对角线交于O点，O是正方形A′B′C′O′的一个顶点，两个正方形的边长都为a，若正方形A′B′C′O绕点O任意转动．试观察其重叠部分OEBF的面积有无变化，请说明理由；若无变化，求出四边形OEBF的面积．

Answer 1

分析：根据正方形的性质，易证得△AOE≌△BOF，从而可知S_{四边形OEBF}=S_△AOB=

1

4

S_△ABCD．

解答：解：其重叠部分OEBF的面积无变化．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，∠OAE=∠OBF=45°．
∵四边形A′B′C′O为正方形，
∴∠C′OA′=90°，
即∠BOF+∠BOE=90°．
又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠BOF=∠AOE．
在△OAE和△OBF中，
OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，
∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴S_△AOE=S_△BOF．
∴S_△AOE+S_△OBE=S_△BOF+S_△OBE，
即S_△AOB=S_{四边形OEBF}，
∵S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

•

AB

2

•

AB

2

=

1

4

a2，
∴S_{四边形OEBF}=

1

4

a2．

点评：求解时需抓住正方形的特征，找出△AOE与△BOF在旋转过程中的对称性，获得四边形OEBF的面积与正方形面积的关系．